پاسخ فعالیت صفحه 8 حسابان دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت 1 صفحه 8 حسابان دوازدهم سلام دانش‌آموزان کوشا! این فعالیت به شما کمک می‌کند تا یکی از مهم‌ترین تبدیلات توابع مثلثاتی، یعنی **تغییر دوره تناوب** را درک کنید. در اینجا می‌خواهیم ببینیم که ضرب کردن متغیر $x$ در عدد 2، چطور نمودار سینوس را فشرده می‌کند. --- ### 1. تکمیل جدول برای $y = \sin 2x$ برای تکمیل جدول، کافی است به ازای هر مقدار $x$ داده شده، مقدار $2x$ را محاسبه کرده و سپس سینوس آن را پیدا کنیم: | $x$ | $2x$ | $y = \sin 2x$ | |:---:|:---:|:---:| | $0$ | $2(0) = 0$ | $\sin(0) = 0$ | | $\frac{\pi}{4}$ | $2(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2}$ | $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ | | $\frac{\pi}{2}$ | $2(\frac{\pi}{2}) = \pi$ | $\sin(\pi) = 0$ | | $\frac{3\pi}{4}$ | $2(\frac{3\pi}{4}) = \frac{3\pi}{2}$ | $\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$ | | $\pi$ | $2(\pi) = 2\pi$ | $\sin(2\pi) = 0$ | | $x$ | $0$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\frac{3\pi}{4}$ | $\pi$ | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | $y = \sin 2x$ | $0$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $0$ | --- ### 2. رسم نمودار $y = \sin 2x$ در $[0, \pi]$ حالا نقاطی که از جدول به دست آورده‌ایم را روی دستگاه مختصات مشخص می‌کنیم: * $(0, 0)$ * $(\frac{\pi}{4}, 1)$ $\leftarrow$ **نقطه ماکزیمم (اوج)** * $(\frac{\pi}{2}, 0)$ $\leftarrow$ **نقطه ریشه** * $(\frac{3\pi}{4}, -1)$ $\leftarrow$ **نقطه مینیمم (فرود)** * $(\pi, 0)$ $\leftarrow$ **نقطه ریشه** با اتصال این نقاط به صورت یک موج سینوسی نرم و پیوسته در فاصله $[0, \pi]$، نمودار تابع $y = \sin 2x$ رسم می‌شود. **نکته کلیدی:** نمودار $y = \sin x$ یک دوره تناوب کامل ($2\pi$) را در $[0, 2\pi]$ طی می‌کند. اما نمودار $y = \sin 2x$، یک دوره تناوب کامل را در بازه $[0, \pi]$ طی می‌کند. این یعنی نمودار به صورت **افقی فشرده شده** است. دوره تناوب جدید تابع $\sin(bx)$ از رابطه $T = \frac{2\pi}{|b|}$ محاسبه می‌شود. در اینجا $b=2$ است، پس: $$T = \frac{2\pi}{2} = \pi$$ این تایید می‌کند که نمودار ما در بازه $\pi$ کامل می‌شود. $]

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت 2 صفحه 8 حسابان دوازدهم مقایسه این دو نمودار به طور کامل اثر **ضریب $b$ در $y = \sin(bx)$** را نشان می‌دهد. تابع اصلی $y = \sin x$ و تابع جدید $y = \sin 2x$. --- ### تفاوت‌های اصلی **1. دوره تناوب (Period) 📏** مهم‌ترین تفاوت در **دوره تناوب** است. دوره تناوب نشان می‌دهد که یک تابع پس از چه بازه‌ای از مقادیر $x$، تکرار می‌شود و موج کامل می‌شود. * **تابع $y = \sin x$:** ضریب $x$، عدد 1 است. دوره تناوب آن $$T_1 = \frac{2\pi}{1} = 2\pi$$ است. یعنی نمودار یک موج کامل را در بازه $2\pi$ طی می‌کند. * **تابع $y = \sin 2x$:** ضریب $x$، عدد 2 است. دوره تناوب آن $$T_2 = \frac{2\pi}{2} = \pi$$ است. یعنی نمودار یک موج کامل را در بازه $\pi$ طی می‌کند. **نتیجه:** نمودار $y = \sin 2x$، **دوره تناوب نصف** نمودار $y = \sin x$ را دارد. این به معنای یک **فشردگی افقی** (در راستای محور $x$) به ضریب $\frac{1}{2}$ است. **2. تکرار موج 🌊** به دلیل کاهش دوره تناوب، تعداد تکرار موج‌ها در یک بازه ثابت افزایش می‌یابد. * در بازه $[0, 2\pi]$، تابع $y = \sin x$ فقط **یک** موج کامل دارد. * در همین بازه $[0, 2\pi]$، تابع $y = \sin 2x$ **دو** موج کامل دارد. --- ### شباهت‌های اصلی (نکات مهم) **1. دامنه (Amplitude) 📈** **دامنه** (حداکثر ارتفاع موج) در هر دو تابع یکسان است: * ماکزیمم $y$ در هر دو تابع، 1 و مینیمم $y$، $-1$ است. پس دامنه هر دو تابع **1** است. **2. برد (Range) 🎯** برد هر دو تابع یعنی مجموع مقادیر $y$ که تابع می‌تواند بگیرد، بازه **$[-1, 1]$** است. به طور خلاصه، ضرب شدن $x$ در عدد $b$ بزرگتر از 1 در تابع $y = \sin(bx)$، نمودار را به صورت **افقی فشرده** می‌کند (دوره تناوب کاهش می‌یابد) بدون آنکه ارتفاع موج (دامنه) آن را تغییر دهد.